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Cocinar las matemáticas: El arte de la abstracción con Eugenia Cheng

¿Y si las matemáticas no fueran sobre números, sino sobre cómo se conectan las ideas? Eugenia Cheng nos invita a un banquete intelectual donde el pastel Battenburg y las fugas de Bach revelan la arquitectura lógica del universo.

Pregunta central: ¿Cómo puede la teoría de categorías transformar nuestra percepción de la realidad a través de la cocina y el arte?

Puntos clave

• La abstracción como herramienta para ignorar detalles y enfocarse en relaciones esenciales.
• La música de Bach vista como una trenza matemática tridimensional que revela claridad estructural.
• El uso de pasteles y colchones para entender estructuras complejas de grupos algebraicos.
• La distinción vital entre el proceso (cómo llegamos) y el resultado final (qué obtenemos).

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El poder de la abstracción

Ignorar para entender

La abstracción no es un concepto nebuloso y distante, sino el proceso deliberado de olvidar detalles irrelevantes para que la mente pueda concentrarse únicamente en la belleza de la estructura esencial.

Eugenia Cheng defiende que las matemáticas son el estudio lógico de cómo funcionan las cosas lógicas, pero dado que el mundo real es inherentemente ilógico, necesitamos mudarnos al mundo de las ideas para que todo funcione correctamente. Este espacio mental es donde las reglas se cumplen estrictamente y la claridad emerge del caos cotidiano, permitiéndonos ver conexiones que antes estaban ocultas por la complejidad innecesaria.

Tomemos como ejemplo una pieza de Bach; para interpretarla correctamente, Cheng dibujó un diagrama de trenzas que mostraba cómo las líneas melódicas se cruzaban sin regresar a su posición original, una técnica que le otorgó claridad interpretativa inmediata. Al tratar la música como una relación entre partes en lugar de simples notas aisladas, aplicó los principios fundamentales de la teoría de categorías para resolver un problema de confusión estructural que la técnica tradicional no lograba aclarar de forma satisfactoria.

Ser un buen matemático consiste, en gran medida, en ser lo suficientemente perezoso como para buscar una teoría elegante que resuelva los cálculos tediosos por nosotros de forma automática.

💡 Profundizando

Q: ¿Por qué usar pasteles para explicar matemáticas? A: Porque conecta conceptos abstractos con el “confort” de la vida diaria, eliminando el miedo al rigor técnico.
Q: ¿Es la matemática solo sobre ecuaciones? A: No, es el estudio de las relaciones entre estructuras lógicas, independientemente de los números.
Q: ¿Cómo ayuda el diagrama de Bach? A: Permite visualizar la polifonía como una trenza, facilitando la comprensión de cómo interactúan las diferentes voces musicales.

Grupos, pasteles y colchones

La lógica del movimiento

El famoso pastel Battenburg, con su patrón de cuadrícula de colores, sirve como una analogía perfecta para explicar las tablas de multiplicación de grupos cíclicos de orden dos. Es una visualización donde el orden y la simetría dictan el resultado final de la estructura.

Al girar un colchón para evitar que se deforme, nos enfrentamos al grupo de Klein, una estructura algebraica que nos enseña que algunas acciones no pueden deshacerse simplemente repitiendo el mismo movimiento inicial. Cheng utiliza un pedazo de papel con letras para demostrar que necesitamos rotaciones y volteos específicos para alcanzar todas las orientaciones posibles del colchón, convirtiendo una tarea doméstica mundana en una lección interactiva sobre la conmutatividad y la teoría de grupos que cualquier persona puede experimentar en su propia habitación.

La intuición en matemáticas, al igual que en la vida, se construye a partir de la experiencia pasada y de nuestra capacidad para reconocer patrones donde otros solo ven caos.

La importancia del proceso

Por qué las ecuaciones “mienten”

En la escuela se nos enseña que las ecuaciones son verdades absolutas, pero Cheng nos revela que muchas ecuaciones son, en cierto sentido, mentiras porque el proceso para llegar al resultado es tan importante como el resultado mismo. No es lo mismo mezclar azúcar y huevos para hacer natillas que hacerlo en un orden diferente; aunque los ingredientes sean idénticos, la estructura química y la textura final cambian drásticamente según la secuencia, lo que demuestra que la asociatividad no siempre se cumple en el mundo real.

Las matemáticas reales se centran en el viaje lógico y en el “por qué” de las cosas, mientras que las matemáticas escolares suelen obsesionarse con el destino final.

El Pentágono de Mac Lane ilustra todas las formas posibles de asociar ingredientes para hacer un pastel, demostrando que incluso en la cocina existen axiomas de coherencia que los matemáticos de alto nivel estudian para comprender dimensiones superiores. Esta estructura nos ayuda a entender que, aunque diferentes caminos parezcan llevar al mismo lugar, el esfuerzo y el estado intermedio del sistema varían según la ruta elegida por el cocinero o el investigador.

Conclusiones clave

Cheng nos enseña que la teoría de categorías es la “matemática de las matemáticas”, una lente poderosa para observar cómo interactúan las estructuras lógicas entre sí sin perderse en tecnicismos numéricos. Es una disciplina que busca la unidad en la diversidad estructural del pensamiento.

Al democratizar conceptos que usualmente se reservan para estudiantes de posgrado, Cheng rompe la barrera del elitismo intelectual. Su enfoque permite que cualquier persona, desde niños curiosos hasta artistas creativos, aprecie la elegancia del pensamiento abstracto y lo aplique para entender mejor su propio trabajo y entorno.

Preguntas y Respuestas

Q1: ¿Quién es el público objetivo de este libro?
A1: Eugenia Cheng diseñó el contenido para todos: desde niños de siete años y estudiantes de arte hasta familias de matemáticos que finalmente quieren entender qué hacen sus seres queridos.

Q2: ¿Qué es exactamente la Teoría de Categorías?
A2: Es el estudio de las estructuras matemáticas a través de las relaciones entre sus objetos, en lugar de estudiar las propiedades internas de esos objetos de forma aislada.

Q3: ¿Por qué dice que los matemáticos son perezosos?
A3: Porque buscan generalizaciones y teorías que les permitan evitar cálculos repetitivos y complejos, prefiriendo trabajar en el nivel de las ideas que resuelven muchos problemas a la vez.

Q4: ¿Cuál es la diferencia entre el pastel Battenburg y las matemáticas escolares?
A4: El pastel muestra una estructura de grupo visual e intuitiva, mientras que la escuela suele enfocarse en memorizar fórmulas sin entender la geometría lógica que hay detrás.

Q5: ¿Qué importancia tiene el error o el “fracaso” en las matemáticas?
A5: El fracaso es esencial porque ayuda a encontrar los límites de nuestro conocimiento y de nuestras teorías; sin fallar, no sabemos hasta dónde podemos llegar.

Q6: ¿Por qué las ecuaciones se consideran “mentiras” en este contexto?
A6: Porque dicen que dos cosas son iguales cuando, en realidad, solo su resultado final coincide, ignorando que los procesos para llegar a ellas son fundamentalmente diferentes.

Q7: ¿Qué recursos recomienda para profundizar?
A7: El libro de Tom Leinster sobre teoría de categorías es una excelente opción por ser más accesible y descriptivo que los libros de texto tradicionales más áridos.